Hi ha coses que semblen senzilles fins que comences a analitzar-les en detall. Aleshores pots trobar sorpreses que et deixen amb el cap com un timbal i la sensació de no entendre res o de perdre’t en un laberint inextricable. Però aquesta mateixa complicació és el que fa que sigui fascinant mirar d’entendre-ho. Un exemple típic és el tema de les dimensions.
Nosaltres vivim en un univers de tres dimensions i per qualsevol objecte definim l’amplada, la llargada i l’alçada. Els físics primmirats ens diran que el temps és una quarta dimensió, però tots preferim assentir i no fer-ne cas. El temps és una altra cosa. I si el físic treballa en la teoria de cordes ens dirà que hi ha deu dimensions, però sis són imperceptibles. De nou, els direm que molt bé i seguirem sense fer-ne massa cas.
Però imaginar dimensions és interessant. Un objecte d’una sola dimensió és més aviat avorrit. Només té llargada, de manera que es tracta d’una línia recta. Ens l’imaginem com una ratlla en un paper, però la ratlla ja té un cert gruix, de manera que només seria una aproximació. Per sota, i encara molt més avorrits, tindríem els objectes sense dimensions, un simple punt.
Per passar a dues dimensions només ens cal agafar la línia i dibuixar dues línies més a partir dels extrems i en angle recte. Aleshores ens apareix una superfície bidimensional on ja poden passar coses interessants. Hi ha una novel·la de ciència-ficció que passa a un indret bidimensional anomenat “Planilàndia“. I és molt interessant reflexionar sobre com serien uns hipotètics organismes que només tinguin dues dimensions. Per exemple, no poden tenir tub digestiu, ja que quedarien partits en dos!
La tercera dimensió s’aconsegueix fàcilment. Només hem de tirar línies que surtin dels vèrtexs del quadrat i que ho facin en angle recte respecte de les dues línies que tenim. Talment com surt la pota d’una taula respecte a la superfície. Aquest és el nostre món, el que el nostre cervell compren perfectament. Per desgràcia, hi està tan ben adaptat que li costa molt sortir-ne, ni que sigui en la imaginació. El mateix que li passaria a un habitant de planilàndia, incapaç d’imaginar una tercera dimensió. Si poséssim un dit sobre planilàndia, ell només veuria una superfície que apareix sobtada i miraculosament. Naturalment només podria veure un pla del nostre dit, mentre que la resta quedaria fora del seu abast i, probablement de la seva comprensió.
Aquest és el problema que tenim quan parlem de la quarta dimensió. Geomètricament és senzill. Només cal repetir el que ja hem fet. Agafar un cub i fer sortir una nova línia a partir de cada un dels vèrtexs, de tal manera que vagi en angle recte respecte de totes les altres. És clar. En l’univers de tres dimensions és impossible, ja que sortiria en direcció a la quarta dimensió. És el mateix problema que tindria el noi de planilàndia amb nosaltres.
De totes maneres, podem representar-ho. Igual que podem dibuixar un cub en un full de paper (en realitat fem una projecció del cub), també podem representar un cub de quatre dimensions (un hipercub o un teseracte) agafant un cub gran, un de més petit, i connectant els respectius vèrtexs. No és un hipercub sinó la representació d’aquest. Concretament és la representació en dues dimensions d’una figura que representa en tres dimensions un cub de quatre dimensions. Complicat de seguir, però amb una mica d’imaginació pot fer el pes. Bé, en realitat és amb molta imaginació, però això de les dimensions és el que té. Si penseu que no és complicat, podem mirar com seria la representació de l’hipercub en moviment.
I posats a fer, podem seguir amb més dimensions. Un penteracte, per un univers de cinc dimensions, un hexeracte per un de sis, o un decaracte en un al·lucinant univers de deu dimensions. Figures geomètriques de mons multidimensionals que de seguida maregen. El nostre cervell intenta encaixar-los en les nostres còmodes tres dimensions i no hi ha manera.
I una mica més enllà de les curiositats geomètriques, apareixen preguntes més fonamentals. Per quin motiu el nostre univers té només tres dimensions? Era necessari? Hi ha impediments a l’existència d’universos amb més dimensions? I amb menys? Qüestions que estan en un punt de contacte entre la ciència i la filosofia i que van bé per entrenar una mica el raonament abstracte i esprémer les neurones.
Curiositat: provar un cub de filferro a aigua+sabó de plats +sucre o almíbar. I aire homit, fresquet, net.
Sa bimbollota resultant a dins es forma i replega com aquest dibuix de cub 4D.
Amb bon llum es veu com es líquid sabonós o dibuix iridiscent s’hi desplaça.
Potser hi ha algun vídeo a llocs amb ingravidesa. O almenys crec que hi jugaven astronautes.
Si ho intentau i cercau igual va millor. Igual avui vaig errat. Jo feia experiments casolans fa ja molt…
I com saps que l’univers té tres dimensions? I si en té més i nosaltres només en sabem apreciar tres? Més el què coi sigui el temps…
És de bojos això de les dimensions. Jo em quedo amb les hiperesferes que semblen més senzilles fins que en comences a calcular el volum i veus que per les hiperesferes de radi unitat la quina té major volum és la de dimensió 5.
Quan tenia tretze anys, vaig quedar fascinat per la idea de poliedres de més de tres dimensions. Els hipercubs els vaig copsar ràpidament, però l’única informació que en tenia va ser un llibre on vaig llegir que en quatre dimensions existien sis polítops regulars… sense més detalls.
El senyor S. el meu professor de matemàtiques, que n’era llicenciat, no em va voler explicar res de res, ignoro si en sabia res del tema, però es limitava estrictament al temari del curs. No sé si va ser bo per a mi que em deixés «sol», els equivalents en quatre dimensions del cub, el tetraedre i l’octaedre regulars els vaig «veure» fàcilment. Aquí veure és més qüestió analítica que geomètrica, sóc de ment «plana», força incapaç de representar mentalment les tres dimensions i no diguem les superiors. Vaig trigar dos anys en construir els tres cossos que em faltaven.
Que en cinc o més dimensions només poden existit tres polítops regulars, precisament els equivalents al cub, el tetraedre i l’octaedre, no ho vaig aconseguir fins que ja anava a la universitat.
Allà, però amb companys i professors, un dia vam calcular que en un univers de quatre dimensions o més, on la llei de la gravitació no seria respecte a la inversa del quadrat de la distància, sinó de potències superiors, no podria existir l’equivalent a les òrbites el·líptiques estables del nostre univers, llàstima, això limita una mica les possibilitats de fer ciència-ficció en un univers així.
Però tornant a la ciència o tecnologia real, m’he trobat que el minimitzar el soroll en un sistema de transmissió de n línies paral·leles, és equivalent al problema de l’empaquetament òptim d’hiperesferes de dimensió n. Malauradament no es coneix la solució general, encara que sí en els casos de dimensió 8 i 24, on la solució és molt ortogonal. Mai no es pot dir que un problema abstracte no tindrà aplicacions.
Espera. No hi hauria òrbites el·líptiques estables? o no hi hauria cap mena d’òrbita (o el seu equivalent) estable?
En el cas general, les òrbites no són tancades i la seva geometria va canviant —una mica en forma que recorda una «rosseta» o espirògraf— de tal manera que en un temps curt, astronòmicament, acaben en impacte, ja que la distància mínima pot minvar indefinidament. Curiosament, el que sí es compleix és la segona llei de Kepler —que l’àrea escombrada pel segment que uneix els dos cossos és constant amb el temps—, que només precisa que la força sigui central, això ja ho havia deduït Newton. Ignoro si hi ha algun cas amb més de dos cossos que sigui estable, però no ho veig gaire factible.
Una mica similar al cas en tres dimensions de tres cossos de masses similars, encara que aquí hi ha solucions estables si dos orbiten prop l’un de l’altre i el tercer és prou lluny. Si no és així, s’acaba en la expulsió d’un dels tres o l’impacte de dos d’ells. És per això que les estrelles triples sempre són dues properes i la tercera molt més lluny, sinó no seria estable —o els sistemes quàdruples són de la mena doble-doble—. En quatre dimensions o més la inestabilitat és el cas general.
Tot plegat si no ens vam equivocar o passar per alt algun detall important, que parlo de començaments dels anys setanta —fent càlculs numèrics amb calculadores de la sèrie HP 9800 que no hi havia ni ordinadors personals— i no he tornat a tocar el problema.
A Planilàndia no s’acabaria en impacte, però les òrbites no són tancades, tornem a l’espirògraf.
A veure si el nostre serà l’únic univers amb prou estabilitat….
Sona a principi antròpic.